平均とは？/ レイク
[ 1300] 平均 - Wikipedia
[引用サイト] http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87
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ただし、相乗平均は正値のデータに対してのみ定義される。また調和平均の場合xi=0 （1≦i≦n）を満たすiが存在する場合には定義されないが、相加平均の場合はデータの値がどんな実数であっても定義される。 相加平均、相乗平均をそれぞれ算術平均（さんじゅつへいきん）、幾何平均（きかへいきん）とも言う。 単に平均といったら相加平均を指す。 調和平均は、速さの平均や並列接続された電気抵抗の抵抗値などを考える場合に用いる（直列回路と並列回路）。 右側の不等式は、「対数を使った関係式」にlogの凸性(ジェンセンの不等式)を適応すれば証明できる。 左側の不等式は、調和平均が逆数の相加平均の逆数という事実を右側の不等式に適応すれば証明できる。 右側の不等式に関しては、数学的帰納法を使った別証明も知られているが、 この場合n = 2mと書ける場合に対してのみまず証明して、それから一般のnに対して証明するというトリッキーな方法を使う。 m乗平均・一般化平均の応用として、例えば統計学では分散と標準偏差が それぞれm=2の場合のm乗平均・一般化平均により定義されている。(ただし、相加平均を引いた後m乗平均・一般化平均を取る)。 観測される値それぞれに重みがある時には、単に相加平均をとるのでなく重みを考慮した平均をとるのが便利である。各データ xi に、重み wi がついているときの加重平均（重み付き平均）は と定義される。これは離散分布の相加平均に対して、無限個の平均を算出する操作を極限により表したものである。 ベクトルの数が3の場合、の平均は、 の作る三角形の重心に一致する。 ベクトルの数が4の場合も同様で、の平均は、 の作る四面体の重心に一致する。 この事実は一般にベクトルの数がnの場合も拡張でき、の平均は、 の作るn-単体の重心に一致する。 により定義される。ただしここでは、ベクトルのノルム。 m=2の場合、は内積に一致するので、 m=2の場合のm乗平均や一般化平均が得に重要である。 たとえば物理学では速さの平均値として、m=2の場合の一般化平均を使う事がある。 ベクトルの加重平均の概念には、物理的な解釈を与える事ができる。 質点がそれぞれ位置にあり、 それぞれの質量がであるとき、 の重心は、加重平均 調査では、平均は代表値としてしばしば使われる。ただし、それが調査の目的に適切かどうかは検討を必要とする。 仮に、ある遊園地に来るグループの人数の平均が3.2人の時には、4人のグループもかなり多いだろう。この場合に観覧車の1部屋の定員を決めるなら、平均値に近い3人にするよりも4人にする方が1グループ単位で乗せられるグループが多くなるため適切であろう。 世帯の貯蓄の事例では、一部の大金持ちの巨大な貯蓄が平均値を引き上げてしまうため、最も多い数の貯蓄額が仮に300万円だとしても平均は700万円くらいになる。従って、一般的な世帯の貯蓄について考察するのが目的ならば中央値や最頻値を用いるべきである。 実験や医学では30例に満たない事例の平均から、何らかの結論を出す必要がある場合もある。この場合は、測定誤差が平均にもかなり混ざっており、統計学的な手法で平均値の精度を計算しないと誤った結論を出すおそれがある。 |
